if1.net-schulbuch.deWerfen mit Rosen - Luftwiderstand und Wind
Wir berücksichtigen den Luftwiderstand
Im Gegensatz zu Eisenkugeln beim Kugelstoßen können reale Flugbahnen von Blumen nicht bestimmt werden, ohne den Luftwiderstand der Blumen zu berücksichtigen.
Wovon hängt der Luftwiderstand ab? Aus dem Pysikunterricht wissen wir:
Der Luftwiderstand eines Körpers ist zu dem Quadrat seiner Geschwindigkeit proportional.
Der Luftwiderstand verneunfacht sich also, wenn sich die Geschwindigkeit verdreifacht.
Der Luftwiderstand eines Körpers ist außerdem abhängig von der Dichte des Gases, das ihn umgibt. So haben Flugzeuge in großer Höhe, in dünner Luft, erheblich geringeren Widerstand als in Bodennähe. Weiterhin ist der Luftwiderstand eines Körpers abhängig von seinem Querschnitt und von seiner Form und von seiner Oberflächenbeschaffenheit. Die folgende Tabelle macht den Unterschied deutlich:
|
|
|
 |
 |
|
|
offene Halbkugel |
Scheibe |
Vollkugel |
offene Halbkugel |
|
|
1,2 |
1 |
0,4 |
0,3 |
|
Wir entnehmen der Tabelle, dass der Widerstand, den die offene Seite einer Halbkugel der Luft bietet, viermal so groß ist wie der ihrer runden Seite. Ein stromlinienförmiger Körper hat einen zwanzigmal kleineren Luftwiderstand wie eine Scheibe mit gleichem Querschnitt.
Eine Bewegung in der Luft wird durch den Luftwiderstand gebremst. Das Bremsen ist eine negative Beschleunigung, denn es wirkt der Bewegungsrichtung entgegen. Die Bremsbeschleunigung aL ist proportional zu v2. Der Einfachheit halber beschreiben wir das Bremsen der Luft mit einem Proportionalitätsfaktor k. Wegen aL ~ v2 ist die Einheit von k fest gelegt. Aus
folgt, dass sie {1} over {m} ist.
Was ist ein sinnvoller Wert für den Proportionalitätsfaktor k? Wenn ein Fallschirmspringer aus großer Höhe abspringt, so wird er zuerst immer schneller fallen. Seine Geschwindigkeit wird jedoch nicht beliebig groß, denn der Luftwiderstand wird mit wachsender Geschwindigkeit auch immer größer. Der Fallschirmspringer sinkt mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit von etwa 205 {km} over {h} ≈ 57 {m} over {s} . Damit bestimmen wir in diesem Beispiel k = 0,003 {1} over {m} .
siehe dazu: Aufgabe 9
Weise durch Rechnung nach, dass bei einer Sinkgeschwindigkeit von etwa 57 m/s der Proportionalitätsfaktor k = 0,003 1/m ist.
Der Luftwiderstand bereitet noch ein weiteres Problem:
Wenn du deine Blume in +x-Richtung, also von links nach rechts, wirfst, wird die Blume auf Grund des Luftwiderstandes langsamer. Sie wird gebremst. Es wirkt eine Beschleunigung in umgekehrter Richtung, in -x-Richtung. Somit ist das Vorzeichen der Beschleunigung negativ.
Wenn du deine Blume in -x-Richtung, also von rechts nach links, wirfst, wird die Blume ebenfalls auf Grund des Luftwiderstandes langsamer. Sie wird gebremst. Es wirkt jetzt wieder eine Beschleunigung in entgegen gesetzter Richtung, diesmal in +x-Richtung. Das Vorzeichen der Beschleunigung ist hier positiv.
SGN (Vorzeichenfunktion)
Das Vorzeichen eines Wertes beschreiben die Mathematiker mit SGN.
Damit wird das lateinische Wort Signum (= Vorzeichen) abgekürzt.
SGN ist eine wertliefernde Methode, also eine Funktion und es gilt:
SGN(X) = 1 wenn X > 0
SGN(X) = 0 wenn X = 0
SGN(X) = -1 wenn X < 0
Es gilt also nicht einfach alx= k • vx 2 oder aly= k • vy 2 sondern die Richtung der Bewegung muss beachtet werden.
Das Vorzeichen der (Brems-) Beschleunigung, die der Luftwiderstand verursacht, ist von der Richtung der Bewegung abhängig.
Bei einer Bewegung in +x-Richtung ist es negativ,
bei einer Bewegung in -x-Richtung ist es positiv.
Bei Bewegungen in y-Richtung gilt das gleiche sinngemäß.
Es gilt der folgende Zusammenhang:
ax= – k • SGN(vx ) • vx 2 und
ay = – 9,8 m/s2 - k • SGN (vy) • vy2
Die Blume fliegt auf einer solchen Bahn:
Blumenflug mit Luftwiderstand
Mit diesen Informationen kannst du nun die Flugbahn eines Wurfes mit Luftwiderstand iterativ berechnen:
Wir erleben die Auswirkungen des Windes
Es gibt Aufwinde und Abwinde. Diese Winde tragen Segelflieger in die Höhe oder lassen Drachenflieger abstürzen. Es gibt Winde von vorne oder von hinten. Diese Winde treiben Schiffe voran oder behindern die Radfahrer. Den Windgeneratoren bringen sie die nötige Energie.
Die Beschleunigung, die die Rose in x-Richtung erfährt, ist nun sowohl von der Windstärke in x-Richtung als auch von der Rosengeschwindigkeit in x-Richtung abhängig.
Die Beschleunigung in y-Richtung setzt sich aus drei Teilen zusammen:
- einem konstanten Anteil, der Erdbeschleunigung,
- aus einem geschwindigkeitsabhängigen Anteil und
- aus einem Windanteil.
Die Windgeschwindigkeit in x-Richtung geben wir in an und bezeichnen sie mit WindX. Die Windgeschwindigkeit in y-Richtung, also den Aufwind oder den Abwind, nennen wir entsprechend WindY.
Die Formeln, mit deren Hilfe wir den Flug der Rose iterieren können, lauten nun:
Blumenflug mit Windwiderstand
Die Flugbahn scheint kurios. Du kannst sie aber erklären:
Zuerst steigt die Rose wie beim schiefen Wurf. Alsdann spürt sie den Gegenwind, der sie abbremst und wie ein Blatt Papier im Sturm in die -x-Richtung bläst. Die Erdbeschleunigung zieht die Blume nach unten und beschleunigt sie so lange, bis die Rose ihre Sinkgeschwindigkeit erreicht hat. Nach hinreichend langer Zeit bewegt sich die Blume auf einer fast geraden Bahn.
Bilde den schiefen Wurf mit Luftwiderstand und Wind angemessen mit deinem Computer ab.
|
Aufgabe 9: Weise durch Rechnung nach, dass bei einer Sinkgeschwindigkeit von etwa 57 {m} over {s} der Proportionalitätsfaktor k = 0,003 {1} over {m} ist. |
|
Aufgabe 10: Vergleiche Aufgabe 1
© 2023 Net-Schulbuch.de
|