if1.net-schulbuch.deFraktale Geometrie - Selbstähnlichkeit
Experiment
Die folgenden Bilder kannst du dir mit Hilfe eines Fotokopierers mit sehr guter Verkleinerungsmöglichkeit, einer Schere und Klebstoff selbst herstellen.
Du legst ein schwarzes Dreieck auf den Fotokopierer und verkleinerst es. Du stellst den Verkleinerungsfaktor an dem Fotokopierer so ein, dass sich die Seitenlängen halbieren. Du fertigst drei Kopien an, schneidest die Dreiecke aus und klebst sie so zu einem Dreieck zusammen, wie es die folgende Abbildung zeigt. In der Mitte bleibt ein Dreieck frei.
Mit der so erhaltenen Figur führst du den Vorgang noch einmal durch.Und mit dessen Ergebnis noch einmal und noch einmal und ...
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Fotokopierte Dreiecke der Stufen null, eins und zwei
Theoretisch kannst du dir das Kopieren und zusammen Kleben unendlich oft wiederholt denken. Die nach unendlich vielen Wiederholungen entstandene Figur ist selbstähnlich. Das so enstandene Dreieck heißt Sierpinski-Dreieck
In der Praxis kannst du schon nach sieben bis acht Wiederholungen keinen Unterschied zwischen den verschiedenen Stufen des Sierpinski - Dreiecks mehr erkennen. Die beiden Abbildungen zeigen dir das:
Dreiecke der Stufe 6 und 7
Eine Figur heißt selbstähnlich, wenn Teile von ihr kleine Kopien des Ganzen enthalten.
Bei der praktischen Durchführung werden sich die Bilder schon nach wenigen Wiederholungen nicht mehr unterscheiden, weil die Grenzen der Darstellungsgenauigkeit des Kopierers überschritten sind.
Der sehr bekannte Mathematiker Benoît B. Mandelbrot hat die Ausgangsfigur für den Kopiervorgang Initiator genannt.
Den Algorithmus, der das Zusammenlegen beschreibt, nennt er Generator. Mit seiner Hilfe wird die selbstähnliche Figur generiert.
Aufgaben
 Aufgabe 1 |
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Mit einem Quadrat als Initiator kannst du selbst Versuche zur Herstellung selbstähnlicher Figuren machen. |
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Teppich aus Quadraten
| Aufgabe 2 |
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Ebenfalls ein Quadrat als Initiator generiert die Folge nächsten Bild Mosaik. |
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Mosaik