Fraktale Geometrie - Einführung

Frau Dr. Kleiber und Frau Weiser, zwei Informatik-Lehrerin­nen der Konrad-Zuse-Schule, haben zu ihrer Fortbildung das Grafiklabor Dynamische Systeme an der Universität Bremen besucht. Dort haben sie von Dr. Jürgens, Professor Peitgen und Dr. Saupe viele neue Anregungen für ihren Unterricht erhalten.

Besonders begeistert sind die beiden Lehrerinnen von einer Computersimulation für ein spezielles Zusammenlegspiel. Sie freuen sich schon darauf, mit ihren Schülerinnen und Schü­lern se­lbstähnliche geometrische Figuren zu produzieren und zu gestalten.

Die selbstähnlichen Figuren der fraktalen Geometrie liefern schöne Bilder. Diese verführerisch bunten Bilder sind seit vielen Jahren zum Hobby vieler Computerfreaks geworden.

Ziele unseres Projektes

• Wir wollen in diesem Projekt den mathematischen Begriff der Selbstähnlichkeit erarbeiten.
• Mit Hilfe eines Fotokopierers erläutern wir ein Konstruktionsprinzip zur Erzeugung selbst­ähnlicher Figuren.
• In eigenen Experimenten werdet ihr dieses Kopierverfahren mit Programmen simulieren und dabei überraschende Bilder erzeugen.
• In einem Algorithmus verallgemeinern wir dann das Initiator - Generator - Prinzip und erzeu­gen so fraktale Figuren im Grafikfenster unserer Programmierumgebung.

Wir programmieren selbstähnliche Figuren

 Nähern wir uns dem Begriff Selbstähnlichkeit zuerst über die Mathematik.

Du kennst die zentrischen Streckun­gen im Zusammenhang mit der Verarbeitung digitalisierter Bilder oder aus dem Mathematikunterricht. In der Mathematik sprechen wir von einer zentrischen Streckung, wenn alle Koordinaten einer geometrischen Figur mit dem gleichen Faktor multipliziert werden.

Nun können wir schon den Begriff der Ähnlichkeit definieren:

Eine bekannte und sehr verbreitete zentrische Streckung ist das Ver­kleinern oder Ver­größern beim Fotokopieren. Die Fotokopie einer Figur und das Original sind also in jedem Falle ähnliche Figuren.